2024年武汉纺织大学非全日制研究生招生考试《高等代数》考试大纲

　　考试内容和考试要求

　　一、多项式

　　【考试内容】

　　数域；一元多项式；整除；最大公因式(互素)；不可约多项式，因式分解；因式；多项式函数，根与一次因式的关系；复系数、实系数多项式的因式分解；有理系数多项式的可约性及其有理根，有根与可约的关系。

　　【考试要求】

　　1. 理解数域、多项式的相关的概念，掌握多项式运算、带余除法、辗转相除法。

　　2. 理解整除、互素和余数定理，会运用它们进行证明。

　　3. 掌握有理系数多项式的性质，会求多项式的有理。

　　二、线性方程组

　　【考试内容】

　　消元法，线性相关性，向量组的秩，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构，n 维向量空间的定义及性质。

　　【考试要求】

　　1. 掌握向量组的秩与矩阵秩的计算方法和性质，并会运用它们进行计算和证明。

　　2. 掌握线性方程组解的结构和线性方程组有解判别定理，能够求解线性方程组。

　　3. 掌握线性相关的性质和结论，并会运用它们进行计算和证明。

　　4. 理解 n 维向量空间的定义及性质。

　　三、矩阵

　　【考试内容】

　　矩阵的定义与运算；矩阵乘积的行列式与秩；矩阵的逆；矩阵分块；初等矩阵；分块矩阵及其应用。

　　【考试要求】

　　1. 掌握矩阵的基本运算。

　　2. 掌握可逆矩阵的定义、性质和计算方法，并会运用它们进行计算和证明。

　　3. 掌握伴随矩阵的性质及其有关结论，会运用它们进行证明。

　　4. 掌握矩阵乘积的秩的性质及其有关结论，并会运用它们进行计算和证明。

　　5. 理解初等矩阵的概念、性质和有关结论。

　　6. 理解分块矩阵，并会运用分块矩阵进行计算和证明。

　　四、行列式

　　【考试内容】

　　排列；n 级行列式定义，n 级行列式的性质，n 级行列式的各种计算方法(含展开)，拉普拉斯(Laplace)定理，行列式的乘法规则。

　　【考试要求】

　　1.掌握 n 级行列式定义、性质和计算方法，并会运用它们进行计算和证明。

　　五、线性空间

　　【考试内容】

　　线性空间的定义及基本性质，基、维数及坐标的定义和基本性质，基变换与坐标变换的关系，线性子空间的定义、性质、基、维数，线性子空间的交与和的性质、基和维数，维数公式，线性子空间的直和的定义及判定，线性空间的同构。

　　【考试要求】

　　1. 掌握基变换与坐标变换。

　　2. 掌握线性子空间定义、性质和有关结论。

　　3. 掌握线性子空间的直和的定义及判定。

　　六、线性变换

　　【考试内容】

　　线性变换的定义、性质和运算，线性变换的矩阵表示和性质，线性变换[方阵]的特征值理论，线性变换[矩阵] 的对角化，线性变换的值域、核及不变子空间的定义、性质和线性空间的直和分解，线性变换[矩阵]的若当标准形、极小多项式介绍。

　　【考试要求】

　　1. 掌握线性变换的矩阵表示和性质、理论推导和线性变换在不同基下的关系。

　　2. 掌握矩阵和线性变换的特征值、特征向量的性质和解法。

　　3. 掌握矩阵可以对角化的几个充分或必要条件。

　　七、欧几里得空间

　　【考试内容】

　　欧几里得空间的定义和基本性质，度量矩阵的定义及性质，施密特(Schimidt)正交化过程，正交矩阵和正交变换的定义及性质，线性空间的正交分解，实对称矩阵的标准形理论，最小二乘法。

　　【考试要求】

　　1. 掌握施密特正交化过程、标准正交基的计算。

　　2. 掌握正交矩阵和正交变换的定义及性质。

　　3. 掌握对称矩阵的有关性质和结论，并会运用它们进行证明。

　　八、二次型

　　【考试内容】

　　二次型的定义及矩阵表示，二次型的标准形及化简二次型，实系数二次型的规范形的唯一性，正定二次型和正定矩阵的定义、性质及判定，矩阵的合同不变性质。

　　【考试要求】

　　1. 掌握化简二次型的方法，会将二次型化为标准形和规范形。

　　2. 掌握正定二次型和正定矩阵的定义、性质及判定条件，并会运用它们进行计算和证明。