2024年湖南师范大学非全日制研究生招生考试《实变函数》考试大纲

　　考试内容及要点

　　(一)测度论与可测函数部分

　　1、n维欧式空间中的点集

　　考试内容：开集、闭集的构造、分离定理

　　考试要点：

　　 要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理。

　　 要求考生理解Cantor集。

　　 要求考生熟练掌握分离定理。

　　2、测度论

　　考试内容：ebesgue 外测度，可测集、可测集类

　　考试要点：

　　 测度的定义和性质；

　　 掌握ebesgue 外测度和测度的定义和基本性质；

　　 练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质。

　　 掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性；

　　 了解特殊的两类集合，波雷耳集。

　　3、可测函数

　　考试内容：可测函数及其性质，几乎处处收敛，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛

　　考试要点：

　　 熟练掌握可测函数及其四则运算，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念；

　　 理解叶果洛夫定理；

　　 理解并掌握鲁津定理及其逆定理；

　　 熟练掌握依测度收敛的定义，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例，Riese定理和ebesgue收敛定理

　　(二)ebesgue积分与不定积分部分

　　1、ebesgue积分的概念与性质

　　考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质，一般可积函数，积分的极限定理

　　考试要点：

　　 理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算， 勒贝格积分与Riemann积分的关系；

　　 熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；

　　 熟练掌握一般可积函数的积分的定义和初等性质。

　　 牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理， 逐项积分定理，积分的可数可加性，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理。

　　2、微分和不定积分

　　考试内容：有界变差函数、绝对连续函数

　　考试要点：

　　 熟练掌握有界变差的定义，理解ebesgue定理；

　　 充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。