2024年湖南师范大学非全日制研究生招生考试《数学分析》考试大纲

　　一、考试内容及要点

　　1、极限论

　　【考试内容】

　　① 各种极限的计算；

　　② 单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理等实数基本理论的灵活应用；

　　③ 连续函数特别是闭区间上连续函数性质的运用；

　　④ 极限定义的熟练掌握等.

　　【考试要点】

　　(1)能熟练计算各种极限，包括单变量和多变量情形.

　　(2)能熟练利用六个实数基本定理尤其是单调有界收敛原理、致密性定理、确界原理、Cauchy收敛原理进行各种理论证明.

　　(3)能熟练掌握单变量连续函数特别是闭区间上连续函数的各种性质，并能利用这些性质进行计算和证明；掌握多变量连续函数的性质尤其是有界闭域上连续函数的性质，能利用这些性质进行计算和证明.

　　(4)熟练掌握各种极限的定义，并能用逻辑术语进行理论证明.

　　2、单变量微分学

　　【考试内容】

　　① 微分中值定理(包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理等)的灵活运用(包括单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题、等式和不等式的证明等)；

　　② Talor公式的灵活运用(包括用Lagrange余项形式证不等式、用Peano余项形式估计阶以及求极限等)；

　　③ 各种形式导数的计算；

　　④ 导数的定义和运用等.

　　【考试要点】

　　(1)熟练掌握微分中值定理，包括Roll定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理的条件和结论，能熟练利用这些定理进行理论证明或计算，包括函数单调性讨论、极值的求取、凸凹性问题的讨论、等式和不等式的证明等.

　　(2) 熟练掌握Talor公式的条件和结论，并能做到灵活运用，尤其是利用Lagrange余项形式证不等式、Peano余项形式估计阶以及求极限等.

　　(3)熟练掌握复合函数导数的计算和高阶导数的计算.

　　(4)熟练掌握导数的定义和性质，能用逻辑语言进行理论证明，熟练掌握利用导数定义进行证明或计算.

　　3、单变量积分学

　　【考试内容】

　　① 各种不定积分和定积分的熟练计算，尤其是计算中的处理技巧；

　　② 广义积分的计算和敛散性判别；

　　③ 定积分的定义和性质的灵活运用等.

　　【考试要点】

　　(1)熟练计算各种不定积分、定积分，熟练掌握凑微分法、换元法、分部积分法以及常用的计算技巧，熟练掌握奇偶函数、周期函数的积分特点.

　　(2)熟练掌握广义积分的计算，熟练掌握区间无限型、函数无界型以及混合型广义积分的敛散性判别，并能进行理论证明.

　　(3)熟练掌握定积分的定义，能利用定积分的定义进行极限的计算，熟练掌握定积分的性质，并能利用这些性质进行理论证明，掌握常用可积函数类

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